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关于曲面边界的问题

归档日期:11-23       文本归类:边界细节      文章编辑:爱尚语录

  书上斯托克斯公式中的曲面边界都是曲线,例题也都是平面上的曲面,因此边界是曲线很好理解。但是如果是复杂些的情况呢?比如圆锥面这种,此时的曲面边界不也是曲面吗?进而到封闭曲面...

  书上斯托克斯公式中的曲面边界都是曲线,例题也都是平面上的曲面,因此边界是曲线很好理解。但是如果是复杂些的情况呢?比如圆锥面这种,此时的曲面边界不也是曲面吗?进而到封闭曲面(比如球面),又是怎么样的呢?

  我想问问,以上后面两种情况的曲面边界还是曲线吗?不过不是,斯托克斯公式是否适用呢?

  另外,书上在斯托克斯公式定理给出之前使用的描述是“曲面块上的第二类曲面积分”,不知道这是不是有所含义呢? 武大高数教材展开我来答

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  你说的那两种情况都不满足斯托克斯公式的条件。斯托克斯公式中对积分曲面的要求可谓相当的多,严格描述是“由有限块二阶连续可微的正则简单曲面拼接而成的可定向曲面”。圆锥面由于有一个“尖点”,这点处曲面的方程是不可微的,故不满足二阶连续可微的条件。而球面是闭合曲面,闭合曲面一定不是简单曲面(但不闭合也不一定是简单曲面),简单曲面要求一种一一对应的关系,形象上说就是,任何垂直于xoy平面的直线和简单曲面的交点至多只有一个,而也就是你书上所谓“曲面块”的概念。这两种情况知道了,我对你说的严格描述不能很好的掌握,再举个例子问一下啊,请问比如是半球面呢?例如球面在平面上方的那一半,是否符合?半球面符合啊,直观上看,球面是光滑的,因此满足可微条件,正则条件一般都满足,不用太考虑(大致来讲正则条件是用来保证由参数方程给出的曲面上每一点处的两个切向量不共线的),它是简单曲面,因为满足我刚才说的简单曲面的定义,球面当然也是可定向的,于是斯托克斯公式的所有条件都满足。

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